Шпора по ДифУрам.

1. Метод разделённых переменных
2. Однородные уравнения
y’=f(y/x)
y/x=u y’=u’x+u

3. y’=f(ax+by+c)
u=ax+by+c
y=…
y’=…
y’(u)=f(u)…
u’=…
du/dx=…

4. y’=f(ax+by+c/dx+cy+g)
x=t+alpha
y=u+beta

5. Линейные ур-я
y’=P(x)y+Q(x)

Метод вариации постоянной.
y=C(x)e^(int(P(x)dx))
C’(x)=Q(x)*e^(-int(P(x)dx)
C(x)=int(Q(x)*e^(-int(P(x)dx)dx+C1
y=e^(int(P(x)dx))( int(Q(x)*e^(-int(P(x)dx)dx+C1))

Метод подстановки
y=uv
v(…u…x…)=…
(…u…x…)=0
Находит u(x)
Подставляем в исх u(x)
и находим v(x)
y=uv

6. Уравнение Бернулли
y’=P(x)y+Q(x)y^m
методом подстановки.

7. Уравнения в полных дифференциалах.
P(x.y)dx+Q(x.y)dy=0
dP/dy=dQ/dx – необх усл.
U(x,y)=int(P(x,y)dx+f(y)
dU/dx=P dU/dy=Q
Q=dU/dy=…+f’(y)
f’(y)=…
f(y)=…
U(x.y)=….=C

Длина отр касательной
t=|y/y’ * (1+(y’)^2)^1/2|
Длина отр нормали
n=|y*(1+(y’)^2)^1/2|
Длина подкасательной
st=|y/y’|
Длина поднормали
sn=|y*y’|

------
номер с графиками.
y=a(x-2)^2
Int(от 0 до l)=(e^-px)(a(x-2)^2)/1-e^-4pdx
-------

Оригиналы
n(t)=1/p
t^n/n!=1/p^(n+1)
e^at=1/(p-a)
(t^n)*e^at/n!=1/(p-a)^(n+1)
cosbt=p/(p^2+b^2)
sinbt=b/(p^2+b^2)
ch(bt)= p/(p^2-b^2)
sh(bt)=b/(p^2-b^2)
e^at*cosbt=(p-a)/((p-a)^2+b^2)
e^at*sinbt=b/((p-a)^2+b^2)

sh(x)=(e^x-e^-x)/2
ch(x)=(e^x+e^-x)/2
sin(x)= (e^ix-e^-ix)/2i
cos(x)= (e^ix+^-ix)/2

Преобразования Лапласа
F(p)=int(от 0 до беск)e^-pt*f(t)dt
Th смещения
e^at*f(t)=F(p-a)
Th запаздывания
n(t-tau)*f(t-tau)=e^(-p*tau)*F(p)
Дифференцирование оригинала
f^(k)пр(t)=p^kст*F(p)-(p^(k-1)стf(0)+p^(k-2)*f’(0)+…+f^(k-1)пр(0)
f’(t)=pF(p)-f(0)
Интегрирование оригинала
Inf(0-t)f(tau)dtau=F(p)/p
Дифференцирование изображения
t^n*f(t)=(-1)^n*F^(n)пр(p)
Интегрирование изображения
f(t)/t=int(p->беск)F(q)dq
Изображение свёртки
f1*f2=int(0-t)f1(tau)*f2(t-tau)dtau
Интеграл Дюамеля
Если f(t)=F(p) и g(t)=G(p) то
pF(p)G(p)=f(0)g(t)+(f1*g)(t)

Решение систем
1.Матричная экспонента e^At
A составляется из исходного
(pE-A)^-1=e^At
pE-A=…
(pE-A)^-1=1/detA*(гл диаг меняется, поб не меняется но с др знаками)
затем пр Лапласа
далее домножается на исх условия.
2. Операторный метод
x’=pX-x(0)
x’’=p^2*X-px(0)-x’(0)
x’’’=p^3*X-p^2*x(0)-px’(0)-x’’(0)
3.Сведение к Ур-ю втор порядка
из одного Ур-я выделяется переем
Затем подставляется в произодную друг Ур-я.

------

Решение неоднородных уравнений c пост коэф
1. С пом инт Дюамеля
y’’-y=x^2+x
y(x)=z’*f(x)
z’’-z=1
затем операторный метод
z’=pz
y=z’*z
2.Метод неопр коэф
квазимногочлен + суперпозиция

-----

Решение однор Ур с переем коэф
1. По известному частному решению
y1(x)=…
y=z*y1(x)
y’=…
y’’=…
далее происходит понижение порядка
2. По угадыванию решения