Билеты по Линейной алгебре (Кибернетика) 1 курс 2 семестр для групп КИ, КА, КР, КМ:

Билет №1. Приведение матрицы к ступенчатому и простейшему виду. Сохранение ранга матрицы при элементарных преобразованиях. Матрица ступенчатого вида и её ранг. Приведение матрицы к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса). Приведение ступенчатой матрицы к простейшему виду (обратный ход метода Гаусса).

Билет №2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Матрицы системы и её расширенная матрица. Элементарные преобразования системы и её расширенной матрицы по методу Гаусса. Критерий разрешимости системы (теорема Кронекера-Капелли) и единственность решения.

Билет №3. Построение общего решения однородной системы. Критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений (выделить, в частности, случай квадратной системы). Линейное пространство решений однородной системы. Теорема о его размерности в базисе (фундаментальной системы решений). Структура общего решения неоднородной системы (теорема о связи решений однородной и неоднородной систем).

Билет №4. Линейные операторы и их матрицы. Понятие линейного оператора, его свойства и примеры. Матрица линейного оператора в данном базисе. Векторно-матричная запись действия линейного оператора.

Билет №5. Образ и ядро линейного оператора. Определения образа и ядра линейного оператора. Примеры. Определения ранга и дефекта линейного оператора. Теорема о связи рангов оператора и его матрицы.

Билет №6. Действия с операторами и их матрицами. Обратный оператор. Умножение линейного оператора на число, сложение и умножение операторов. Соответствующие действия с матрицами операторов. Обратный оператор. Критерий обратимости оператора. Единственность и линейность обратного оператора. Матрица обратного оператора. Невырожденный оператор и его обратимость. Произведение обратимых операторов.

Билет №7. Замена базиса. Матрицы линейного оператора в разных базисах. Матрица перехода от одного базиса к другому. Невырожденность матрицы перехода. Теорема об обратном переходе. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобие матриц и его свойства. Инвариантность определителя матрицы линейного оператора при замене базиса

Билет №8. Собственные значения и собственные векторы. Понятия собственного значения и собственного вектора линейного оператора. Спектр оператора. Характеристический многочлен и нахождение собственных значений и собственных векторов с помощью характеристического уравнения. Инвариантность собственных значений, следа и определителя матрицы линейного оператора.

Билет №9. Собственный базис линейного оператора. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих разным собственным значениям. Матрица оператора в собственном базисе. Оператор простого типа, диагонализируемость его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Инвариантные подпространства.

Билет №10. Билинейная форма и её матрица. Квадратичная форма. Понятие билинейной формы. Матрица формы в данном базисе. Симметричная билинейная форма и её матрица. Координатная и векторно-матричная запись формы. Преобразование матрица формы при замене базиса. Ранг билинейной формы, определение невырожденной билинейной формы. Квадратичная форма, порождённая симметричной билинейной формой. Свойства квадратичной формы. Координатная и векторно-матричная запись квадратичной формы.

Билет №11. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Приведение формы к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный индексы формы, ранг формы.

Билет №12. Знакоопределённая квадратичная форма. Индексы и ранг знакоопределённой квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определённости квадратичной формы.

Билет №13. Евклидово пространство. Определение евклидова пространства. Примеры. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского.

Билет №14. Матрица Грама. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Длина вектора и угол между векторами. Матрица Грамма скалярного произведения, его координатная и векторно-матричная запись. Критерий матрицы Грамма. Преобразование матрицы Грамма при замене базиса.

Билет №15. Ортонормированный базис. Линейная независимость ортогональной системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. Запись матрицы Грамма, скалярного произведения и длины вектора в ортогональном и ортонормированном базисе. Метод ортогонализации базиса. Ортогональное дополнение.

Билет №16. Самосопряжённый оператор. Сопряжённый оператор. Определение самосопряжённого оператора, симметричность его матрицы в ортонормированном базисе. Вещественность корней характеристического многочлена самосопряжённого оператора. Свойства самосопряжённых операторов. Ортогональность собственных векторов самосопряжённых операторов. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряжённого оператора.

Билет №17. Ортогональный оператор. Понятие ортогонального оператора, критерий ортогональности оператора (перевод ортонормированного базиса в ортонормированный базис, совпадение обратного оператора с сопряжённым). Ортогональные матрицы.

Билет №18. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Присоединённый оператор, его самосопряжённость. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогональных преобразований. Эквивалентность формул преобразования матрицы квадратичной формы и матрицы самосопряжённого оператора при переходе от одного ортонормированного базиса к другому. Построение канонического базиса формы как ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряжённого оператора