Билеты
по Линейной алгебре (Кибернетика) 1 курс 2 семестр для групп КИ, КА, КР,
КМ:
Билет №1. Приведение матрицы к ступенчатому и простейшему виду. Сохранение
ранга матрицы при элементарных преобразованиях. Матрица ступенчатого вида
и её ранг. Приведение матрицы к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса).
Приведение ступенчатой матрицы к простейшему виду (обратный ход метода
Гаусса).
Билет №2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Матрицы системы
и её расширенная матрица. Элементарные преобразования системы и её расширенной
матрицы по методу Гаусса. Критерий разрешимости системы (теорема Кронекера-Капелли)
и единственность решения.
Билет №3. Построение общего решения однородной системы. Критерий существования
ненулевых решений однородной системы линейных уравнений (выделить, в частности,
случай квадратной системы). Линейное пространство решений однородной системы.
Теорема о его размерности в базисе (фундаментальной системы решений).
Структура общего решения неоднородной системы (теорема о связи решений
однородной и неоднородной систем).
Билет №4. Линейные операторы и их матрицы. Понятие линейного оператора,
его свойства и примеры. Матрица линейного оператора в данном базисе. Векторно-матричная
запись действия линейного оператора.
Билет №5. Образ и ядро линейного оператора. Определения образа и ядра
линейного оператора. Примеры. Определения ранга и дефекта линейного оператора.
Теорема о связи рангов оператора и его матрицы.
Билет №6. Действия с операторами и их матрицами. Обратный оператор. Умножение
линейного оператора на число, сложение и умножение операторов. Соответствующие
действия с матрицами операторов. Обратный оператор. Критерий обратимости
оператора. Единственность и линейность обратного оператора. Матрица обратного
оператора. Невырожденный оператор и его обратимость. Произведение обратимых
операторов.
Билет №7. Замена базиса. Матрицы линейного оператора в разных базисах.
Матрица перехода от одного базиса к другому. Невырожденность матрицы перехода.
Теорема об обратном переходе. Преобразование координат вектора при переходе
к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе
к новому базису. Подобие матриц и его свойства. Инвариантность определителя
матрицы линейного оператора при замене базиса
Билет №8. Собственные значения и собственные векторы. Понятия собственного
значения и собственного вектора линейного оператора. Спектр оператора.
Характеристический многочлен и нахождение собственных значений и собственных
векторов с помощью характеристического уравнения. Инвариантность собственных
значений, следа и определителя матрицы линейного оператора.
Билет №9. Собственный базис линейного оператора. Линейная независимость
собственных векторов, отвечающих разным собственным значениям. Матрица
оператора в собственном базисе. Оператор простого типа, диагонализируемость
его матрицы. Достаточное условие оператора простого типа. Инвариантные
подпространства.
Билет №10. Билинейная форма и её матрица. Квадратичная форма. Понятие
билинейной формы. Матрица формы в данном базисе. Симметричная билинейная
форма и её матрица. Координатная и векторно-матричная запись формы. Преобразование
матрица формы при замене базиса. Ранг билинейной формы, определение невырожденной
билинейной формы. Квадратичная форма, порождённая симметричной билинейной
формой. Свойства квадратичной формы. Координатная и векторно-матричная
запись квадратичной формы.
Билет №11. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному
виду. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Приведение формы
к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм.
Положительный и отрицательный индексы формы, ранг формы.
Билет №12. Знакоопределённая квадратичная форма. Индексы и ранг знакоопределённой
квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра
положительной (отрицательной) определённости квадратичной формы.
Билет №13. Евклидово пространство. Определение евклидова пространства.
Примеры. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского.
Билет №14. Матрица Грама. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника.
Длина вектора и угол между векторами. Матрица Грамма скалярного произведения,
его координатная и векторно-матричная запись. Критерий матрицы Грамма.
Преобразование матрицы Грамма при замене базиса.
Билет №15. Ортонормированный базис. Линейная независимость ортогональной
системы векторов. Ортогональный и ортонормированный базисы. Запись матрицы
Грамма, скалярного произведения и длины вектора в ортогональном и ортонормированном
базисе. Метод ортогонализации базиса. Ортогональное дополнение.
Билет №16. Самосопряжённый оператор. Сопряжённый оператор. Определение
самосопряжённого оператора, симметричность его матрицы в ортонормированном
базисе. Вещественность корней характеристического многочлена самосопряжённого
оператора. Свойства самосопряжённых операторов. Ортогональность собственных
векторов самосопряжённых операторов. Построение ортонормированного базиса
из собственных векторов самосопряжённого оператора.
Билет №17. Ортогональный оператор. Понятие ортогонального оператора,
критерий ортогональности оператора (перевод ортонормированного базиса
в ортонормированный базис, совпадение обратного оператора с сопряжённым).
Ортогональные матрицы.
Билет №18. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Присоединённый
оператор, его самосопряжённость. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду методом ортогональных преобразований. Эквивалентность формул преобразования
матрицы квадратичной формы и матрицы самосопряжённого оператора при переходе
от одного ортонормированного базиса к другому. Построение канонического
базиса формы как ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряжённого
оператора
|