Вопросы к экзамену по математическому анализу. 3 семестр.

1 Числовой ряд. Его сходимость. Примеры сходящихся и расходящихся рядов: геометрическая прогрессия, гармонический ряд и другие.
2. Необходимый признак сходимости числового ряда.
3. Критерий сходимости рядов с положительными членами.
4. Признак сравнения положительных рядов, его предельная форма
5. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с положительными членами. 6. Интегральный признак Коши сходимости рядов с положительными членами.
7. Признак сходимости знакочередующегося ряда, оценка остатка.
8. Сходимость ряда из абсолютных величин членов знакопеременного ряда как достаточное условие сходимости самого ряда. Абсолютная и условная сходимость.
9. Свойства абсолютно сходящихся рядов: перестановка членов, перемножение рядов. Перестановка членов не абсолютно сходящегося ряда.
10. Функциональный ряд, его область сходимости. Равномерная сходимость, Примеры.
11. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейштрасса.
12. Непрерывность суммы функционального ряда.
13. Теорема о почленном интегрировании функциональных рядов.
14. Теорема о почленном дифференцировании функциональных рядов.
15. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Поведение ряда на концах интервала сходимости.
16. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда.
17. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов. Бесконечная гладкость суммы степенного ряда.
18. Необходимое условие разложимости функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена.
19. Критерий разложимости функции в степенной ряд.
20. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд.
21. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений, к приближенным вычислениям, к раскрытию неопреде-ленностей.
22. Ряды Тейлора для основных элементарных функций: е^x, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)^a;
23. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Норма функции. Примеры ортогональных систем.
24. Ряд Фурье по ортогональной системе. Коэффициенты ряда Фурье.
25. Приближение функции в среднем. Сходимость в среднем ряда Фурье.
26. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Его геометрическая интерпретация.
27. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций.
28. Интеграл Фурье в вещественной и комплексной форме. Преобразование Фурье.
29. Постановка краевых задач для уравнения колебаний струны.
30. Решение задачи Коши для уравнения свободных колебаний бесконечной струны методом Даламбера. Его физический смысл.
31. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности.
32. Уравнение Лапласа. Гармонические функции и их свойства. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа.